(나) limx→m+g(x)x(x−2)
의 값이 음수가 되도록 하는 자연수m의 집합은
{g(−1),−72g(1)} 이다.
g(−5)의 값을 구하시오. (단, g(−1) ≠ −72g(1))
[4점]
이걸 한 줄씩 우리말로 바꾸면 이렇게 됩니다.
① 삼차함수 f가 있다. 최고차항 계수가 양수다.
② g는 실수 t를 기준으로 왼쪽은 −f, 오른쪽은 f로 만든 함수다.
③ g는 연속이다.
④ (가) 어떤 a를 골라도 limx→a+ 일 때 g(x)/(x(x−2))가 존재한다.
⑤ (나) 그 값이 음수가 되는 자연수 m을 모으면 { g(−1), −7/2·g(1) } 이다.
1
g는 벽 왼쪽만 뒤집은 미끄럼틀
벽의 위치가 t예요. 왼쪽은 위아래로 뒤집고(−f), 오른쪽은 그대로 둡니다.
벽을 밀어보세요
0.80
원래 f뒤집힌 −f그대로 f
벽에서 선이 뚝 끊기면 안 됩니다(연속).
뒤집은 높이와 안 뒤집은 높이가 같아야 하니 −f(t) = f(t), 이걸 만족하는 수는 0 하나뿐이에요.
그러니 f(t) = 0. 벽은 반드시 땅에 닿는 자리에만 설 수 있습니다.
2
0으로 나누면 터집니다
아래쪽(분모) x(x−2)가 x=0과 x=2에서 0이 됩니다.
터지는 자리 두 곳
0으로 나누면 값이 무한대로 튀어서 "존재한다"는 조건 (가)를 어겨요.
살아남는 길은 하나, 위쪽도 같이 0이 되는 겁니다.
그래서 f(0) = 0, f(2) = 0. 땅에 닿는 자리는 최대 3개이니 남은 하나를 r이라 부르면
f(x) = a · x · (x−2) · (x−r) 이고, 벽 t는 0이거나 2이거나 r 셋 중 하나입니다.
3
램프를 정확히 2개만 켜세요
각 자연수의 바로 오른쪽에서 값이 음수면 램프가 켜집니다. 조건 (나)가 "정확히 2개"예요.
벽과 뿌리를 동시에 밀어보세요
2.0
3.67
위 카드 셋은 지금 r 값으로 실시간 계산한 결과예요. 슬라이더를 밀면 같이 바뀝니다.
램프가 {2, 3} 두 개만 켜지는 건 벽이 2일 때뿐이고, 그때 r은 3보다 크고 4 이하여야 해요.
r을 4 넘게 밀면 세 번째 램프가 켜집니다. 직접 해보세요.
4
주어진 두 숫자로 a와 r을 잡는다
자연수 모음이 {2, 3}인 걸 알았으니 짝만 맞추면 끝입니다.
벽이 t=2니까 −1과 1은 둘 다 벽 왼쪽이에요. 그 자리 g는 뒤집힌 −f입니다.
값
계산하면
3<r≤4 에서
g(−1)
−f(−1) = 3a(1+r)
더 큼 → 3
−7/2 · g(1)
(7/2)·a(r−1)
더 작음 → 2
① 3a(1+r) = 3 → a(1+r) = 1
② (7/2)·a(r−1) = 2 → a(r−1) = 4/7
② ÷ ① 하면 a가 싹 사라져요 → (r−1)/(r+1) = 4/7
7r − 7 = 4r + 4 → 3r = 11 → r = 11/3 ≈ 3.67 (3과 4 사이 맞죠)